Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum dan Diskriminan

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0$
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:
a. Metode faktorisasi
b. Metode melengkapkan kuadrat sempurna
c. Metode rumus kuadrat (Rumus abc)
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

B. Sifat Akar

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dengan $D>0$, maka : $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ atau $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$. Sebagai akibat rumus tersebut diperoleh:

1. Jumlah akar $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$

2. Hasil kali akar $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

3. Selisih akar $\left | x_{1}- x_{2} \right |=\frac{\sqrt{D}}{\left | a \right |}$
4. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
   a. Jumlah kuadrat: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2\left ( x_{1}\cdot x_{2} \right )$
   b. Selisih kuadrat : $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{1}- x_{2} \right )$
   c. Kuadrat selisih : $\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-4x_{1}\cdot x_{2}$
   d. Jumlah kebalikan : $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

C. Jenis-jenis Akar

Dilihat dari diskriminan $\left ( D=b^{2}-4ac \right )$, akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3, yaitu:

   a. $D\geq 0$ berarti memiliki akar real

      -  $D>0$ berarti memiliki 2 akar real yang berbeda

      -  $D=0$ berarti memiliki satu akar real (kembar)

   b. $D<0$ berarti tidak memiliki akar real (imajiner).

   c. $D=k^{2}$ berarti memiliki 2 akar rasional.

D. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

1. Menggunakan rumus yaitu: 

$$x^{2}-\left ( JA \right )x+ KA=0$$

keterangan : 

JA= jumlah akar-akar yang baru

KA= perkalian akar-akar yang baru

2. Mensubtitusikan invers akar-akar yang baru ke persamaan semula