Logika Matematika

A. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah

Contoh :

1. Ibu kota Bali adalah Denpasar (pernyataan benar)
2. $2+5=11$ (pernyataan salah)

B. Operasi Logika

1. Disjungsi $\left ( p\vee q \right )$ : p atau q
2. Konjungsi $\left ( p\wedge  q \right )$ : p dan q
3. Implikasi $\left ( p\Rightarrow   q \right )$ : jika p maka q
4. Biimplikasi $\left ( p\Leftrightarrow    q \right )$ : p jika dan hanya jika q
5. Negasi $\left ( \sim p \right)$ : bukan p

Tabel Kebenaran

p	q	$\left (p \wedge q \right)$	$\left (p \vee q \right)$	$\left (p \Rightarrow q \right)$	$\left (p \Leftrightarrow q \right)$
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

C. Kuantor

Ada 2 macam kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal

Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya "$\forall x$" dibaca "untuk semua nilai x" atau "untuk setiap nilai x"

Contoh:
a. Semua kucing mengeong
b. Setiap benda langit berbentuk bola

2. Kuantor Eksistensi
Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya "$\exists x$" dicaba "ada nilai x" atau "beberapa nilai x"
Contoh:
a. Ada rumah tidak memiliki jendela
b. Beberapa pasien adalah wanita

D. Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi/ingkaran adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan : $\sim p$ artinya tidak p.

Negasi pernyataan majemuk:

Kuantor	$\sim \left ( \forall p \right )\equiv \exists \left ( \sim p \right )$
Disjungsi	$ \sim \left ( p\vee q \right )\equiv \sim p\wedge \sim q$
Konjungsi	$\sim \left ( p \wedge  q \right )\equiv \sim p\vee  \sim q$
Implikasi	$ \sim \left ( p \Rightarrow   q \right )\equiv \sim \left ( \sim p \vee q \right )\equiv p\wedge \sim q$
Biimplikasi	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \sim \left ( p \Rightarrow  q \right )\vee \sim \left ( q\Rightarrow p \right )$
	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \sim \left ( \left ( p \Rightarrow  q \right )\wedge  \left ( q\Rightarrow p \right ) \right )$
	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \left ( p\wedge \sim q \right )\vee \left ( q\wedge \sim p \right )$

E. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi $ p \wedge  q$ diperoleh

1. $q \wedge p$ disebut konvers dari $p \wedge  q$
2. $ \sim p \wedge  \sim q$ disebut invers dari $p \wedge  q$
3. $ \sim q \wedge  \sim p$ disebut kontraposisi dari $p \wedge  q$

F. Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran yang sama. Contoh pernyataan majemuk yang ekuivalen :

1. $p\vee q\equiv q\vee p$ (Komutatif)
2. $p\wedge q\equiv q\wedge p$ (Komutatif)
3. $p \vee \left ( q\vee r \right )\equiv \left ( q\vee p \right )\vee r $ (Asosiatif)
4. $p \wedge \left ( q\wedge r \right )\equiv \left ( q\wedge p \right )\wedge r $ (Asosiatif)
5. $p \vee \left ( q\wedge  r \right )\equiv \left ( q\vee p \right )\wedge \left ( p\vee r \right )$ (Distributif)
6. $p \wedge \left ( q\vee r \right )\equiv \left ( q\wedge p \right )\vee \left ( p\wedge r \right )$ (Distributif)
7. $\sim \left ( p\vee q \right )\equiv \sim p\wedge \sim q$ (De Morgan)
8. $\sim \left ( p\wedge q \right )\equiv \sim p\vee \sim q$ (De Morgan)
9. $p\Rightarrow q\equiv \sim p\vee q$ (Implikasi)
10. $p\Leftrightarrow q\equiv \left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p \right )$ (Biimplikasi)
11. $\sim \left ( p\Rightarrow q \right )\equiv p\wedge \sim q$ (Negasi Implikasi)
12. $\sim \left ( p\Leftrightarrow q \right )\equiv \left ( p\wedge \sim q \right )\vee \left ( q\wedge \sim p \right )$ (Negasi Biimplikasi)

G. Penarikan Kesimpulan

Cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:

1. Modus Ponens

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $p$

    Kesimpulan : $q$

2. Modus Tolens

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $\sim q$

    Kesimpulan : $\sim p$

3. Silogisme

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $q\Rightarrow r$

    Kesimpulan : $p\Rightarrow r$