Kaidah Pencacahan

A. Aturan Perkalian

Jika banyak cara memilih unsur pertama ada m cara dan banyak cara memilih unsur kedua ada n cara, maka banyaknya cara memilih kedua unsur tersebut sekaligus ada $m\times n$ cara.

Faktorial

$3!=3.2.1$

$2!=2.1$

$n!=3.(n-1)(n-2)...3.2.1$

B. Permutasi

Permutasi menyatakan banyaknya penyusunan objek dengan memperhatikan letak/ ukuran. Banyaknya permutasi (unsur terurut) r unsur dari n unsur adalah:

$$P_{r}^{n}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!}$$

Jenis-jenis permutasi, antara lain:

1. Permutasi n unsur; $n!$

2. Permutasi dengan menggunakan seluruh unsur

3. Permutasi dengan n unsur sama

$$P=\frac{n!}{r!s!t!}$$

dengan r,s,t menyatakan banyaknya unsur yang sama

4. Permutasi siklis (melingkar): $(n-1)!$

C. Kombinasi

kombinasi menyatakan banyaknya penyusunan objek-objek dengan tidak memperhatikan letak/ ukuran. Banyak kombinasi (susunan) r unsur dari n unsur adalah

$$C_{r}^{n}=\frac{n!}{\left ( n-r \right )!r!}$$

Fungsi Kuadrat

A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum : $f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ dengan syarat $a\neq 0$

1. Koordinat puncak

$$x_{p}=-\frac{b}{2a}$$

$$y_{p}=-\frac{D}{4a}$$

2. Sumbu simetri $x=x_{p}$

3. Nilai maksimum/minimum $y=y_{p}$

B. Sifat Kurva Parabola

1. Dilihat dari koefisien "$a$"
  Nilai $a$ untuk menentukan arah membukanya grafik
  - $a>0$, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai nilai minimum
  - $a<0$, parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai nilai maksimum

2. Dilihat dari koefisien "$b$"
  Nilai $b$ untuk menentukan posisi sumbu simentri
  - $a$ dan $b$ bertanda sama ($a>0, b>0$) atau ($a<0, b<0$) sumbu simetri berada di kiri sumbu y.
  - $a$ dan $b$ berlainan tanda ($a>0, b<0$) atau ($a<0, b>0$) sumbu simetri berada di kanan sumbu y

3. Dilihat dari koefisien "$c$"
  Nilai $c$ untuk menentukan titik potong dengan sumbu y
  - $c>0$, parabola memotong sumbu y positif
  - $c<0$, parabola memotong sumbu y negatif

4. Dilihat dari $D=b^{2}-4ac$ (Diskriminan)
  - $D>0$ berarti parabola memotong sumbu x di dua titik
  - $D=0$ berarti parabola menyinggung sumbu x
  - $D<0$ berarti parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

C. Meyusun Fungsi Kuadrat

1. Diketahui memotong sumbu $x$ di $\left ( x_{1},0 \right )$ dan $\left ( x_{2},0 \right )$, maka gunakan rumus :

$$y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right ) \left ( x-x_{2} \right )$$

2. Diketahui titik puncak $\left ( x_{p},y_{p} \right )$, maka gunakan rumus:

$$y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}$$

3. Diketahui menyinggung sumbu $x$ di $\left ( x_{1},0 \right )$ maka gunakan rumus:

$$y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}$$

D. Hubungan Garis dan Parabola

Dilihat dari $D=b^{2}-4ac$, kedudukan garis terhadap parabola dibagi menjadi 3, yaitu:

1. $D>0$ berarti garis memotong parabola di dua titik

2. $D=0$ berarti garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)

3. $D<0$ berartu garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola

Logika Matematika

A. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah

Contoh :

1. Ibu kota Bali adalah Denpasar (pernyataan benar)
2. $2+5=11$ (pernyataan salah)

B. Operasi Logika

1. Disjungsi $\left ( p\vee q \right )$ : p atau q
2. Konjungsi $\left ( p\wedge  q \right )$ : p dan q
3. Implikasi $\left ( p\Rightarrow   q \right )$ : jika p maka q
4. Biimplikasi $\left ( p\Leftrightarrow    q \right )$ : p jika dan hanya jika q
5. Negasi $\left ( \sim p \right)$ : bukan p

Tabel Kebenaran

p	q	$\left (p \wedge q \right)$	$\left (p \vee q \right)$	$\left (p \Rightarrow q \right)$	$\left (p \Leftrightarrow q \right)$
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

C. Kuantor

Ada 2 macam kuantor, yaitu:

1. Kuantor Universal

Suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya "$\forall x$" dibaca "untuk semua nilai x" atau "untuk setiap nilai x"

Contoh:
a. Semua kucing mengeong
b. Setiap benda langit berbentuk bola

2. Kuantor Eksistensi
Suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya "$\exists x$" dicaba "ada nilai x" atau "beberapa nilai x"
Contoh:
a. Ada rumah tidak memiliki jendela
b. Beberapa pasien adalah wanita

D. Negasi Pernyataan Majemuk

Negasi/ingkaran adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan : $\sim p$ artinya tidak p.

Negasi pernyataan majemuk:

Kuantor	$\sim \left ( \forall p \right )\equiv \exists \left ( \sim p \right )$
Disjungsi	$\sim \left ( p\vee q \right )\equiv \sim p\wedge \sim q$
Konjungsi	$\sim \left ( p \wedge  q \right )\equiv \sim p\vee  \sim q$
Implikasi	$\sim \left ( p \Rightarrow   q \right )\equiv \sim \left ( \sim p \vee q \right )\equiv p\wedge \sim q$
Biimplikasi	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \sim \left ( p \Rightarrow  q \right )\vee \sim \left ( q\Rightarrow p \right )$
	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \sim \left ( \left ( p \Rightarrow  q \right )\wedge  \left ( q\Rightarrow p \right ) \right )$
	$\sim \left ( p \Leftrightarrow    q \right )\equiv \left ( p\wedge \sim q \right )\vee \left ( q\wedge \sim p \right )$

E. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi $p \wedge  q$ diperoleh

1. $q \wedge p$ disebut konvers dari $p \wedge  q$
2. $\sim p \wedge  \sim q$ disebut invers dari $p \wedge  q$
3. $\sim q \wedge  \sim p$ disebut kontraposisi dari $p \wedge  q$

F. Ekuivalensi

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan ini mempunyai nilai kebenaran yang sama. Contoh pernyataan majemuk yang ekuivalen :

1. $p\vee q\equiv q\vee p$ (Komutatif)
2. $p\wedge q\equiv q\wedge p$ (Komutatif)
3. $p \vee \left ( q\vee r \right )\equiv \left ( q\vee p \right )\vee r$ (Asosiatif)
4. $p \wedge \left ( q\wedge r \right )\equiv \left ( q\wedge p \right )\wedge r$ (Asosiatif)
5. $p \vee \left ( q\wedge  r \right )\equiv \left ( q\vee p \right )\wedge \left ( p\vee r \right )$ (Distributif)
6. $p \wedge \left ( q\vee r \right )\equiv \left ( q\wedge p \right )\vee \left ( p\wedge r \right )$ (Distributif)
7. $\sim \left ( p\vee q \right )\equiv \sim p\wedge \sim q$ (De Morgan)
8. $\sim \left ( p\wedge q \right )\equiv \sim p\vee \sim q$ (De Morgan)
9. $p\Rightarrow q\equiv \sim p\vee q$ (Implikasi)
10. $p\Leftrightarrow q\equiv \left ( p\Rightarrow q \right )\wedge \left ( q\Rightarrow p \right )$ (Biimplikasi)
11. $\sim \left ( p\Rightarrow q \right )\equiv p\wedge \sim q$ (Negasi Implikasi)
12. $\sim \left ( p\Leftrightarrow q \right )\equiv \left ( p\wedge \sim q \right )\vee \left ( q\wedge \sim p \right )$ (Negasi Biimplikasi)

G. Penarikan Kesimpulan

Cara menarik kesimpulan dari 2 premis sebagai berikut:

1. Modus Ponens

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $p$

    Kesimpulan : $q$

2. Modus Tolens

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $\sim q$

    Kesimpulan : $\sim p$

3. Silogisme

    Premis 1      : $p\Rightarrow q$

    Premis 2      : $q\Rightarrow r$

    Kesimpulan : $p\Rightarrow r$

Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum dan Diskriminan

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0$
Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan:
a. Metode faktorisasi
b. Metode melengkapkan kuadrat sempurna
c. Metode rumus kuadrat (Rumus abc)
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

B. Sifat Akar

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dengan $D>0$, maka : $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ atau $x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$. Sebagai akibat rumus tersebut diperoleh:

1. Jumlah akar $x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}$

2. Hasil kali akar $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$

3. Selisih akar $\left | x_{1}- x_{2} \right |=\frac{\sqrt{D}}{\left | a \right |}$
4. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat:
   a. Jumlah kuadrat: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2\left ( x_{1}\cdot x_{2} \right )$
   b. Selisih kuadrat : $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left ( x_{1}- x_{2} \right )$
   c. Kuadrat selisih : $\left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-4x_{1}\cdot x_{2}$
   d. Jumlah kebalikan : $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

C. Jenis-jenis Akar

Dilihat dari diskriminan $\left ( D=b^{2}-4ac \right )$, akar-akar persamaan kuadrat dibagi menjadi 3, yaitu:

   a. $D\geq 0$ berarti memiliki akar real

      -  $D>0$ berarti memiliki 2 akar real yang berbeda

      -  $D=0$ berarti memiliki satu akar real (kembar)

   b. $D<0$ berarti tidak memiliki akar real (imajiner).

   c. $D=k^{2}$ berarti memiliki 2 akar rasional.

D. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, maka persamaan kuadrat baru dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

1. Menggunakan rumus yaitu: 

$$x^{2}-\left ( JA \right )x+ KA=0$$

keterangan : 

JA= jumlah akar-akar yang baru

KA= perkalian akar-akar yang baru

2. Mensubtitusikan invers akar-akar yang baru ke persamaan semula